专题11 数列解答题综合二（新定义、不等式和最值问题，18题）（教师卷）-十年（2016-2025）高考数学真题分类汇编
专题 11 数列解答题综合二
（新定义、不等式和最值问题，18 题）
考点 十年考情 (2016-2025) 命题趋势
数列新定义
2024 新课标 Ⅰ 卷：可分数列相关问题；
2024 北京卷：数列变换新定义问题；2023
北京卷：数列新定义与前 n 项和结合问题；
2022 北京卷：连续可表数列问题；2021 北
京卷：λ 数列问题；2020 北京卷：数列性
质新定义问题；2020 江苏卷：“λ~k” 数
列问题；2020 上海卷：有限数列性质问题
新定义数列是高考考查热
点，常结合等差数列、等比
数列性质，考查对新定义的
理解与应用，注重逻辑推理
和转化能力。
数列不等式问题
2022 新高考全国 Ⅱ 卷：等差数列与等比数
列结合的不等式证明；2022 浙江卷：等差数
列等比数列相关不等式问题；2021 天津卷：
数列不等式证明；2020 浙江卷：等差数列相
关不等式证明
数列与不等式结合考查，多
涉及等差数列、等比数列，
考查不等式的证明、参数范
围求解等，常需运用放缩
法、函数思想等。
数列的最值问题
2022 全国甲卷：等差数列前 n 项和的最
值；2021 新高考全国 Ⅱ 卷：等差数列前 n
项和最小值；2021 上海卷：数列相关最值问
题；2019 北京卷：等差数列前 n 项和最小
值；2018 全国 II 卷：等差数列前 n 项和
最小值及通项
数列最值问题多围绕等差数
列前 n 项和展开，考查利用
二次函数性质、邻项变号法
等求最值，也涉及数列通项
相关最值问题。
一、考点 01：数列新定义
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设 m为正整数，数列 是公差不为 0的等差数列，若从中删
去两项 和 后剩余的 项可被平均分为 组，且每组的 4个数都能构成等差数列，则称数列
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是 可分数列．
(1)写出所有的 ， ，使数列 是 可分数列；
(2)当 时，证明：数列 是 可分数列；
(3)从 中任取两个数 和 ，记数列 是 可分数列的概率为 ，证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）直接根据 可分数列的定义即可；
（2）根据 可分数列的定义即可验证结论；
（3）证明使得原数列是 可分数列的 至少有 个，再使用概率的定义.
【详解】（1）首先，我们设数列 的公差为 ，则 .
由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，
故我们可以对该数列进行适当的变形 ，
得到新数列 ，然后对 进行相应的讨论即可.
换言之，我们可以不妨设 ，此后的讨论均建立在该假设下进行.
回到原题，第 1小问相当于从 中取出两个数 和 ，使得剩下四个数是等差数列.
那么剩下四个数只可能是 ，或 ，或 .
所以所有可能的 就是 .
（2）由于从数列 中取出 和 后，剩余的 个数可以分为以下两个部分，共 组，使得每
组成等差数列：
①，共 组；
②，共 组.
（如果 ，则忽略②）
故数列 是 可分数列.
（3）定义集合 ，
.
下面证明，对 ，如果下面两个命题同时成立，
则数列 一定是 可分数列：
命题 1： 或 ；
命题 2：.
我们分两种情况证明这个结论.
第一种情况：如果 ，且 .
此时设 ， ， .
则由 可知 ，即 ，故 .
此时，由于从数列 中取出 和 后，
剩余的 个数可以分为以下三个部分，共 组，使得每组成等差数列：
①，共 组；
②，共 组；
③，共 组.
（如果某一部分的组数为 ，则忽略之）
摘要：
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专题11数列解答题综合二（新定义、不等式和最值问题，18题）考点十年考情(2016-2025)命题趋势数列新定义2024新课标Ⅰ卷：可分数列相关问题；2024北京卷：数列变换新定义问题；2023北京卷：数列新定义与前n项和结合问题；2022北京卷：连续可表数列问题；2021北京卷：λ数列问题；2020北京卷：数列性质新定义问题；2020江苏卷：“λ~k”数列问题；2020上海卷：有限数列性质问题新定义数列是高考考查热点，常结合等差数列、等比数列性质，考查对新定义的理解与应用，注重逻辑推理和转化能力。数列不等式问题2022新高考全国Ⅱ卷：等差数列与等比数列结合的不等式证明；2022浙江卷：等差数...
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