专题11 数列解答题综合二（新定义、不等式和最值问题，18题）（学生卷）-十年（2016-2025）高考数学真题分类汇编

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专题 11 数列解答题综合二
（新定义、不等式和最值问题，18 题）
考点 十年考情 (2016-2025) 命题趋势
数列新定义
2024 新课标 Ⅰ 卷：可分数列相关问题；
2024 北京卷：数列变换新定义问题；2023
北京卷：数列新定义与前 n 项和结合问题；
2022 北京卷：连续可表数列问题；2021 北
京卷：λ 数列问题；2020 北京卷：数列性
质新定义问题；2020 江苏卷：“λ~k” 数
列问题；2020 上海卷：有限数列性质问题
新定义数列是高考考查热
点，常结合等差数列、等比
数列性质，考查对新定义的
理解与应用，注重逻辑推理
和转化能力。
数列不等式问题
2022 新高考全国 Ⅱ 卷：等差数列与等比数
列结合的不等式证明；2022 浙江卷：等差数
列等比数列相关不等式问题；2021 天津卷：
数列不等式证明；2020 浙江卷：等差数列相
关不等式证明
数列与不等式结合考查，多
涉及等差数列、等比数列，
考查不等式的证明、参数范
围求解等，常需运用放缩
法、函数思想等。
数列的最值问题
2022 全国甲卷：等差数列前 n 项和的最
值；2021 新高考全国 Ⅱ 卷：等差数列前 n
项和最小值；2021 上海卷：数列相关最值问
题；2019 北京卷：等差数列前 n 项和最小
值；2018 全国 II 卷：等差数列前 n 项和
最小值及通项
数列最值问题多围绕等差数
列前 n 项和展开，考查利用
二次函数性质、邻项变号法
等求最值，也涉及数列通项
相关最值问题。
一、考点 01：数列新定义
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设 m为正整数，数列 是公差不为 0的等差数列，若从中删
去两项 和 后剩余的 项可被平均分为 组，且每组的 4个数都能构成等差数列，则称数列
是 可分数列．
(1)写出所有的 ， ，使数列 是 可分数列；
(2)当 时，证明：数列 是 可分数列；
(3)从 中任取两个数 和 ，记数列 是 可分数列的概率为 ，证明：
．
2．（2024·北京·高考真题）已知集合
．给定数列 ，和序
列 ，其中 ，对数列 进行如下变换：将 的第 项均
加1，其余项不变，得到的数列记作 ；将 的第 项均加 1，其余项不变，得到数列记作
；……；以此类推，得到 ，简记为 ．
(1)给定数列 和序列 ，写出 ；
(2)是否存在序列 ，使得 为 ，若存在，写出一个符
合条件的 ；若不存在，请说明理由；
(3)若数列 的各项均为正整数，且 为偶数，求证：“存在序列 ，使得 的各项都相
等”的充要条件为“ ”．
3．（2023·北京·高考真题）已知数列 的项数均为 m，且 的前 n
项和分别为 ，并规定 ．对于 ，定义 ，
其中， 表示数集 M中最大的数.
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，且 ，求 ；
(3)证明：存在 ，满足 使得 ．
4．（2022·北京·高考真题）已知 为有穷整数数列．给定正整数 m，若对任意的
，在 Q中存在 ，使得 ，则称 Q为 连续
可表数列．
(1)判断 是否为 连续可表数列？是否为 连续可表数列？说明理由；
(2)若 为 连续可表数列，求证：k的最小值为 4；
(3)若 为 连续可表数列，且 ，求证： ．
5．（2021·北京·高考真题）设 p为实数.若无穷数列 满足如下三个性质，则称 为 数列：
①，且 ；
②；
③， ．
（1）如果数列 的前 4项为 2，-2，-2，-1，那么 是否可能为 数列？说明理由；
（2）若数列 是 数列，求 ；
（3）设数列 的前 项和为 .是否存在 数列 ，使得 恒成立？如果存在，求出所有的 p；
如果不存在，说明理由．
6．（2020·北京·高考真题）已知 是无穷数列．给出两个性质：
①对于 中任意两项 ，在 中都存在一项 ，使 ；

标签： #高考 #数学 #数列

摘要：

专题11数列解答题综合二（新定义、不等式和最值问题，18题）考点十年考情(2016-2025)命题趋势数列新定义2024新课标Ⅰ卷：可分数列相关问题；2024北京卷：数列变换新定义问题；2023北京卷：数列新定义与前n项和结合问题；2022北京卷：连续可表数列问题；2021北京卷：λ数列问题；2020北京卷：数列性质新定义问题；2020江苏卷：“λ~k”数列问题；2020上海卷：有限数列性质问题新定义数列是高考考查热点，常结合等差数列、等比数列性质，考查对新定义的理解与应用，注重逻辑推理和转化能力。数列不等式问题2022新高考全国Ⅱ卷：等差数列与等比数列结合的不等式证明；2022浙江卷：等差数...

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