第02讲 单调性问题（讲义）（解析版）
第02 讲 单调性问题
目录
考点要求 考题统计 考情分析
（1）结合实例，借助几何直
观了解函数的单调性与导数
的关系．
（2）能利用导数研究函数的
单调性，会求函数的单调区
间（其中多项式函数一般不
超过三次）．
2022 年甲卷第 12 题，5分
2022 年I卷第 7题，5分
2021 年浙江卷第 7题，5分
高考对单调性的考查相对稳定，考查
内容、频率、题型、难度均变化不
大．高考在本节内容上无论试题怎样
变化，我们只要把握好导数作为研究
函数的有力工具这一点，将函数的单
调性本质问题利用图像直观明了地展
示出来，其余的就是具体问题的转化
了．
知识点一：单调性基础问题
1、函数的单调性
函数单调性的判定方法：设函数 在某个区间内可导，如果 ，则 为增函数；
如果 ，则 为减函数．
2、已知函数的单调性问题
①若 在某个区间上单调递增，则在该区间上有 恒成立（但不恒等于 0）；反之，要满足
，才能得出 在某个区间上单调递增；
②若 在某个区间上单调递减，则在该区间上有 恒成立（但不恒等于 0）；反之，要满足
，才能得出 在某个区间上单调递减．
知识点二：讨论单调区间问题
类型一：不含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）；
（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正
或恒负，无需单独讨论的部分）；
（3）求根作图得结论（如能直接求出导函数等于 0的根，并能做出导函数与 x轴位置关系图，则导函
数正负区间段已知，可直接得出结论）；
（4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）；
（5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）；
（6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶
导）；
求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．
（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间
段）；
类型二：含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一
个连续的区间）；
（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正
或恒负，无需单独讨论的部分）；
（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；
（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；
（5）导数图像定区间；
【解题方法总结】
1、求可导函数单调区间的一般步骤
（1）确定函数 的定义域；
（2）求 ，令 ，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；
（3）把函数 的间断点（即 的无定义点）的横坐标和 的各实根按由小到大的顺序排
列起来，然后用这些点把函数 的定义域分成若干个小区间；
（4）确定 在各小区间内的符号，根据 的符号判断函数 在每个相应小区间内的增减性．
注：①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点
处均为正（或负）时， 在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的．例如，在 上， ，
当 时， ；当 时， ，而显然 在 上是单调递增函数．
② 若函数 在区间 上单调递增，则 （ 不恒为 0），反之不成立．因为
，即 或 ，当 时，函数 在区间 上单调递增．当 时，
在这个区间为常值函数；同理，若函数 在区间 上单调递减，则 （ 不恒为
0），反之不成立．这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必
要条件．于是有如下结论：
单调递增； 单调递增 ；
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测试
作者：小沃沃
分类：小学
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时间：2025-08-01
